【大学受験】領域を利用する問題 - 高校生と大学の間の数学・物理

正領域・負領域の話

　大学受験において「領域を描く」という問題は頻出ですが、その領域の"符号は？"と質問すると理解度が下がる気がしています。そこでこんな１題。

3つの直線 $x-y=1, 3x-y=1, x+y=4\sqrt{2}-1$ で囲まれてできる三角形の内接円の半径と中心の座標を求めよ。（18' 慶應義塾大学環境情報学部）

　まずは図を描いてみる人が多いでしょう。シンプルな問題ですが、意外と方針が立ちにくいのではないでしょうか。内接円の中心の座標をC(a,b)と置いてみて話を進めましょう。

解答の方針

　内接円の中心と3つの直線それぞれまでの距離dは等しいので、点と直線の距離の公式より次式が成り立つ。
$\begin{eqnarray} d &=& \frac{|a-b-1|}{\sqrt{2}} & = & \frac{|3a-b-1|}{\sqrt{10}} & = & \frac{|a+b-4\sqrt{2}+1|}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$
　絶対値がなければ、2元1次連立方程式を解けばa,bが求まるので中心の座標が分かりそうです。そこで絶対値を外すために正領域・負領域の出番です。

正領域・負領域の意味

　まず、 $x-y=1$ という方程式が表す意味を考えてみましょう。多くの方が「簡単。傾き１、y切片-1の直線だよ。」と分かると思います。
しかし、中学校で習ったころに戻っていただくと、これはもともと、 $x-y=1$ という式を満たす"点の集合"を意味したのでした。（たとえば $(x, y)=(1, 0), (3,2)$ などなど無限にあります。）
これを集めてx-y平面にプロットしたら「直線になるよ」というのが中学校でのお話でした。

それでは $x-y>1$ を満たす"点の集合"を集めてx-y平面にプロットしたらどんな領域になるでしょうか。
たとえばさきほど挙げた $(x, y)=(1, 0), (3,2)$ などの例は $x-y=1$ となるのでこれを満たしません。
しかし、「これらの点より少しでもxが大きい(x-y平面右方向)か、yが小さければ(x-y平面下方向) $x-y>1$ を満たす」ことが分かります。
つまり $x-y=1$ の表す直線よりも"右下"にある領域の点 $(a, b)$ を代入したら $a-b>1$ となることを示しています。
このような点をすべて集めたものを正領域と呼んでいます。当然、不等号を逆にした場合を満たす点の集合を負領域と呼びます。

解答

　内接円の中心と3つの直線それぞれまでの距離dは等しいので、点と直線の距離の公式より次式が成り立つ。
$\begin{eqnarray} \frac{|a-b-1|}{\sqrt{2}} & = & \frac{|3a-b-1|}{\sqrt{10}} & = & \frac{|a+b-4\sqrt{2}+1|}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$
正領域・負領域を考えると、図より $|a-b-1|=-(a-b-1), |3a-b-1|=3a-b-1, |a+b-4\sqrt{2}+1|=-(a+b-4\sqrt{2}+1)$ となることが分かる。すなわち
$\begin{eqnarray} \frac{-a+b+1}{\sqrt{2}} & = & \frac{3a-b-1}{\sqrt{10}} & = & \frac{-a-b+4\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$
を解けばよいことになり、これをa,bについて解くと、
$a = \sqrt{10}-\sqrt{2}, b = 2\sqrt{2}-1$
が求まる。